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【精选试题】高中数学专题名师精解“立体几何

更新时间: 2019-09-07

  【精选试题】高中数学专题名师精解“立体几何”题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。(9) 专题精解“立体几何”题 1.(2007 年湖北卷第 4 题)平面 α 外有两条直线 m 和 n ,如果 m 和 n 在 平面 α 内的射影分别是 m 和 n ,给出下列四个命题: ①m

  (9) 专题精解“立体几何”题 1.(2007 年湖北卷第 4 题)平面 α 外有两条直线 m 和 n ,如果 m 和 n 在 平面 α 内的射影分别是 m 和 n ,给出下列四个命题: ①m ⊥n ?m ⊥n; ②m ⊥n ? m ⊥n ③m 与 n 相交?m 与 n 相交或重合; ④m 与 n 平行?m 与 n 平行或重合. 其中不正确... 的命题个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】D 以教室空间为长方体模型,m ,n 作地面墙根线,m,n 在墙壁上 选择,易知 m ⊥n 是 m ⊥n 的不必要不充分条件.故①②为假命题.m ,n 相交或平 行,m,n 可以异面;故③④也是假命题. 【说明】 抽象的线线(面)关系具体化.就是寻找空间模型,长方体教室是 “不需成本”的立几模型.必要时,考生还可用手中的直尺和三角板作“图形组 合”. 2.(2007 年北京卷第 3 题)平面 α ∥平面 β 的一个充分条件是 A. 存在一条直线 a,a ∥α ,a ∥β B. 存在一条直线 a,a ,α ?a ∥β C. 存在两条平行直线 a,b,a ,α ?β ?b ,a ∥β ,b ∥α D. 存在两条异面直线 a,b,a ,α ?β ?b ,a ∥β ,b ∥α 【解析】D 以考场的天花板和一个墙面作为 α ,β ,可以找出不同的直线 a,b 满足 A 、B 、C 项,从而排除前三项. 【说明】教室本身是一个好的长方体模型,而我们判断线线、线面关系时用 它,简捷明了. 3.(2007 年湖南卷第 8 题)棱长为 1 的正方体 1111ABCD A B C D -的 8 个顶 点都在球 O 的表面上,E F ,分别是棱 1AA ,1DD 的中点,则直线 EF 被球 O 截 得的线段长为( ) A B .1 C .1+ D 【解析】D 平面 11AA D D 截球所得圆面的半径 ,111EF 2AD R EF AA D D = =?∴面, 被球 O 截得 的线d d r ==故选 D. 【说明】 相关知识点:球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的 面对角线长, 正 温馨推荐 您可前往百度文库小程序 享受更优阅读体验 不去了 立即体验 方体的外接球的直径是正方体的体对角线) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a a, . 4.(2007 年全国Ⅰ第 7 题) 如图,正四棱柱 1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线AD 所成角的余弦值为( ) A .1 5 B. 25 C. 35 D. 45 【解析】D 连接 CD 1,则∠AD 1C 即是异面直线 所成的角, 设 AB =1,5 4 552255cos 1=?-+=∠C AD . 【说明】 找出异面直线所成的角,是问题的关键. 5.(2007 年浙江卷第 6 题)若 P 是两条异面直线 l m ,外的任意一点,则 ( ) A.过点 P 有且仅有一条直线与 l m ,都平行 B.过点 P 有且仅有一条 直线与 l m ,都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l m ,都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l m ,都异面 【解析】B 对于选项 A ,若过点 P 有直线 n 与 l ,m 都平行,则 l ∥m , 这与 l ,m 异面矛盾;对于 B ,过点 P 与 l 、m 都垂直的直线即过 P 且与 l 、m 的公垂线段平行的那一条直线;对于选项 C ,过点 P 与 l 、m 都相交的直线可能 没有;对于 D ,过点 P 与 l 、m 都异面的直线可能有无数条. 【说明】 空间线 题)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ) A .①② B .①③ C .①④ D .②④ 【解析】D 正方体三个视图都相同;圆锥的两个视图相同;三棱台三个都不 同;正四棱锥的两个视图相同. 【说明】 空间想象力的发挥. 7.(2007 年江苏卷第 4 题) 已知两条直线 m n ,,两个平面 α β ,.给出下 面四个命题: A B 1B 1A 1D 1C C D ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 ①m n ∥,m n α α ?⊥⊥; ②α β ∥,m α ?,n m n β ??∥; ③m n ∥,m n α α ?∥∥; ④α β ∥,m n ∥,m n α β ?⊥⊥. 其中正确命题的序号是( ) A.①、③ B.②、④ C.①、④ D.②、 ③ 【解析】C 对于②,在两平行平面内的直线有两种位置关系:平行或异面; 对于③,平行线中有一条与平面平行,则另一条可能与平面平行,也可能在平面内. 8.(2007 年全国卷Ⅱ第 7 题)已知正三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 的侧棱长与底面 边长相等,则 AB 1 与侧面 ACC 1A 1 所成角的正弦等于 (A) (C) (D) 【解析】A 欲求直线 所成角,关键是要找到直线 内的射影,即要找到 B 1 在这个平面内的射影,根据正棱柱的性 质和平面与平面垂直的性质定理易知,B 1 在这个平面内的射影是 11A C 的中点 D. 所以 1B AD ∠就是所求. 故选 A. 【说明】 若在直角三角形内的角边关系混淆,易选错为 B ;若对 直线和平 面所成角的概念不清,易选错为 C 或 D 。 9.(2007 年天津卷第 6 题) 设 a b ,为两条直线,α β ,为两个平面,下列 四个命题中,正确的命题是( ) A.若 a b ,与 α 所成的角相等,则 a b ∥ B.若 a b α β ,∥∥, α β ∥,则 a b ∥ C.若 a b a b α β ??,,∥,则 α β ∥ D.若 a b α β ⊥⊥,,α β ⊥,则 a b ⊥ 【解析】D A 中,a 、b 可能平行、相交、异面; B 中,a 、b 可能平行、 相交、异面; C 中 a 、b 可以同时与 α 、β 的交线平行; D 中 a 、b 可以看作是 α 、β 的法向量. 【说明】 还可以教室的一角为模型,再选择不同的墙线作为直线举反例. C B A D C1 A 10. (2007 年重庆卷第 3 题)若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则 这三个平面把空间分成( ) A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分 【解 析】C 以点代线,以线代面,可画示意图如下: 【说明】 图直观,无须说理. 11. (2007 年辽宁卷第 7 题) 若 m 、n 是两条不同的直线,α 、β 、γ 是三 个不同的平面,则下命题中的真命题... 是( ) A .若 m ?β ,β ⊥α ,则 α ⊥m B .若 α ∩γ =m ,β ∩γ =n , m ∥n ,则 α ∥β C .若 m β ⊥,m ∥α ,则 β ⊥α D .若 γ ⊥α ,β ⊥α ,则 γ ⊥β 【解析】C A 中,直线 m 与平面 α 的位置关系各种可能都有;B 中,平面 α 与 β 也可能相交;C 中,∵m ∥α ,过 m 作平面 γ 交平面 α 于 m ′,则 m ∥m ′. 又∵m β ⊥,∴m ′β ⊥. 由面面垂直的判定定理可知,今晚六合开奖结果,β ⊥α ;D 中, 平面 β 与 γ 也可能相交成或平行. 【说明】 本题考查直线与直线、直线与平 面、平面与平面的位置关系. 12. (2007 年福建卷第 8 题) 已知 m n ,为两条不同的直线,α β ,为两个 不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A .m n m n α α β β α β ???,,∥,∥∥ B .m n m n α β α β ???∥,,∥ C .m m n n α α ?⊥,⊥∥ D .n m n m α α ?∥,⊥⊥ 【解析】D 对于 A ,当 m 、n 为两条平行直线时,可知 A 错误. 对于 B , m 、n 两条直线可能为异面直线,对于 C ,直线 n 可能在平面 α 内. 【说明】 本题主要考查空间中线 题) 顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD A B C D -中, 1AB AA ==,A C ,两点间的球面距离为( ) A. π4 B. π2 Cπ D 【解析】B 如下图所示, 设球的半径为 R ,则有 12 11)2(2 22=++=R ,连结 AC ,连结 AC ′、A ′C 交于点 O ,则 O 为 外接球的心, 在△AOC 中,AO =OC =1,AC =2,所以∠AOC =2 π . 所以 A 、C 两点间的球面距离为 2 π. 【说明】 本题考查组合体的知识. 13(2007 年全国卷Ⅰ第 16 题)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三 棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为 2,则该三角形的斜边长为 . 略解:记题中等腰直角三角形为 ABC ,A 为直角顶点,过 A 平行于底面的截 面为 α . 若 B 、C 在 α 同侧(图 1),易证∠ABC 为锐角,不合题意; 若 B 、C 在 α 异侧(图 2),过点 B 作平行于底面的截面 BPQ ,依“等 腰”易证 CP=2AQ. 取 BC 中点 G ,BP 中点 H ,连 AG 、GH 、HQ ,可证 AGHQ 为 矩形,故 BC=2AG=2HQ= 这个解法的关键是“猜”图,心算即可. 当然,图 2 中令 AQ = x ,CP = 2x ,利用勾股定理得()()2 2222222x x +=+求解也简单. 图1 图2 只是从图形上看,似乎图 1 与图 2 没有本质的区别.这是因为作者没有注明哪 个平面是 α ,所以看起来 B 、C 都在平面 α 的同一边.若果然如此,分类就没有 必要了. 在下关于这题的解法是: 【解析】延长 MN 、CB 交于 P ,连 AP . 第 1,可证 M 为 PN 的中点.:作 MD ∥BC ,交 CC 1 于 D.显然:△AMB ≌△MND.故 DN=BM=CD ,即 BM= 1 2 CN 是△PNC 的中位线,∴M 为 PN 的中点. 第 2,由 AM 是 PN 的垂直平分线 可以推出△APN 是等腰直角三角形. 以下由△ABP 中 BA=BP=2,ABP=120°,得 AP =,从而边 AN =. B CA G HB C A PQ